Question

【题目】（1）问题解决：如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．

①如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得AD＝CD，这个性质是　 ；

②在图2中，求证：AD＝CD；

（2）拓展探究：根据（1）的解题经验，请解决如下问题：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证BD+AD＝BC．

Answer 1

【答案】（1）①角平分线上的点到角的两边距离相等；②见解析；（2）见解析．

【解析】

（1）①根据角平分线的性质定理即可解决问题；

②如图2中，作DE⊥BA于E，DF⊥BC于F．只要证明△DEA≌△DFC即可解决问题；

（2）如图3中，在BC时截取BK=BD，BT=BA，连接DK．首先证明DK=CK，再证明△DBA≌△DBT，推出AD=DT，∠A=∠BTD=100°，推出∠DTK=∠DKT=80°，推出DT=DK=CK，由此即可解决问题；

（1）①根据角平分线的性质定理可知AD＝CD．

所以这个性质是角平分线上的点到角的两边距离相等．

故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等．

②如图2中，作DE⊥BA于E，DF⊥BC于F．

∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，

∴DE＝DF，

∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°，

∴∠EAD＝∠C，

∵∠E＝∠DFC＝90°，

∴△DEA≌△DFC，

∴DA＝DC．

（2）如图3中，在BC上截取BK＝BD，BT＝BA，连接DK．

∵AB＝AC，∠A＝100°，

∴∠ABC＝∠C＝40°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠DBK＝∠ABC＝20°，

∵BD＝BK，

∴∠BKD＝∠BDK＝80°，

∵∠BKD＝∠C+∠KDC，

∴∠KDC＝∠C＝40°，

∴DK＝CK，

∵BD＝BD，BA＝BT，∠DBA＝∠DBT，

∴△DBA≌△DBT，

∴AD＝DT，∠A＝∠BTD＝100°，

∴∠DTK＝∠DKT＝80°，

∴DT＝DK＝CK，

∴BD+AD＝BK+CK＝BC．