Question

8．如图所示，已知点N（1，0），直线y=-x+2与两坐标轴分别交于A，B两点，M，P分别是线段OB，AB上的动点，则PM+MN的最小值是$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 如图，点N关于OB的对称点N′（-1，0），过点N′作N′P⊥AB交OB于M，则PN′=PM+MN的最小值，根据直线AB的解析式为y=-x+2，得到直线N′P的解析式为y=x+1，得到P（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），推出△PAN′是等腰直角三角形，于是得到结论．

解答 解：如图，点N关于OB的对称点N′（-1，0），过点N′作N′P⊥AB交OB于M，
则PN′=PM+MN的最小值，
∵直线AB的解析式为y=-x+2，
∴直线N′P的解析式为y=x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{y=x+1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴P（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∵A（2，0），B（0，2），
∴OA=OB，
∴∠BAO=45°，
∴△PAN′是等腰直角三角形，
∵AN′=3，
∴PN′=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴PM+MN的最小值是$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
故答案为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查轴对称-最短问题、两点之间距离公式等知识，解题的关键是利用对称性找到点D、点E位置，属于中考常考题型．