Question

如图，⊙O的两条弦AB、CD相交于点P，M、N分别是AB、CD的中点，PM=PN，求证：AB=CD．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理

专题：证明题

分析：连结OB、OD，如图，根据垂径定理的推论，由M、N分别是AB、CD的中点得到OM⊥AB，ON⊥CD，AM=BM，CN=DN，再由PM=PN得到∠PMN=∠PNM，根据等角的余角相等得∠OMN=∠ONM，则OM=ON，接着根据勾股定理可得BM=DN，于是有AB=CD．

解答：证明：连结OB、OD，如图，
∵M、N分别是AB、CD的中点，
∴OM⊥AB，ON⊥CD，
∴∠OMA=90°，∠ONC=90°，AM=BM，CN=DN，
∵PM=PN，
∴∠PMN=∠PNM，
∴∠OMN=∠ONM，
∴OM=ON，
在Rt△OMB中，BM=

OB2-OM2

；在Rt△ODN中，DN=

OD2-ON2

，
而OB=OD，
∴BM=DN，
∴AB=CD．

点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．