Question

5．如图，?ABCD中，∠B=70°，点E是BC的中点，点F在AB上，且BF=BE，过点F作FG⊥CD于点G，有如下结论：①AF=CG；②∠EFG=35°；③CE=DG；④∠FEG=100°；⑤∠EGC=55°；其中正确的有（　　）

• A． ①②③
• B． ①②③⑤
• C． ①③④⑤
• D． ②⑤

Answer 1

分析 延长GE交AB的延长线于点H，EO⊥GF与点O，易证得EF=EH=EG，EO=$\frac{1}{2}（GC+BF）$．当AC经过点O时，可证得AF=CG，从而证得CE=DG，但AC不一定会经过O，当AD沿着BA、CD移动仍满足题中条件．所以①③错误．由等腰三角形的性质以及直角的性质可求得∠EFG=35°，；④∠FEG=110°，∠EGC=55°．

解答 解：延长GE交AB的延长线于点H，如图，
∵?ABCD中AB∥CD，
∴∠H=∠EGC，
在△BEH和△CEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEH=∠CEG}\\{∠H=∠EGC}\\{BE=CE}\end{array}\right.$，
∴△BEH≌△CEG（AAS），
∴HE=EG，
又∵AB∥CD，FG⊥CD，
∴FG⊥AB，即∠HFG=90°
∴EF=EH=EG，
作EO⊥FG于点O，
又∵EF=EG
∴点O为FG的中点．
连接AC，当AC经过点O时，
又∵点E为BC的中点
∴EO=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}（GC+BF）$．
∴GC=AF
但是此题中AC不一定经过点O（AD边沿着BA、CD方向移动仍符合题中的条件），所以CG不一定等于AF．故①错误．
又∵BF=BE=EC，AB=CD，
∴只有当GC=AF时，CE=DG，
但GC不一定等于AF，故③错误．
∵∠FBE=70°，BF=BE，
∴∠BFE=55°
又∵∠BFG=90°，
∴∠EFG=35°，故②正确．
∵EF=EG，
∴∠EFG=∠EGF=35°，
∴∠FEG=180°-35°-35°=110°，故④错误．
∵∠FGC=90°，
∴∠EGC=55°，故⑤正确．
故②⑤正确；
故选D．

点评 （1）此题主要考查了平行四边形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（2）此题还考查了直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正确作出辅助线是关键．
（3）考查了梯形的中位线和等腰三角形的相关性质．