Question

10．如图，已知以E（6，0）为圆心，以10为半径的⊙E与x轴交于A．B两点，与y轴交于C点，抛物线y=ax²+bx+c经过A，B，C三点，顶点为F；
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）求抛物线的解析式及顶点F的坐标；
（3）已知M为抛物线上一动点（不与C点重合），试探究：
①使得以A，B．M为顶点的三角形面积与△ABC的面积相等，求所有符合条件的点M的坐标；
②若探究①中的M点位于第四象限，连接M点与抛物线顶点F，试判断直线MF与⊙E的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据有理数的加法，可得A、B点坐标，根据勾股定理，可得C点坐标；
（2）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；
（3）①根据平行线间的距离相等，可得M的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得M点坐标；
②根据勾股定理，可得MF²，EF²，EM²，根据勾股定理的逆定理，可得FM⊥EM，根据切线的判定，可得答案．

解答 解：（1）6-10=-4，即A（-4，0），6+10=16，即B（16，0），
由勾股定理，得OC=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，即C（0，-8）；
（2）将A、B、C坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{16a-4b+c=0}\\{256a+16b+c=0}\\{c=-8}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{8}}\\{b=-\frac{3}{2}}\\{c=8}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=$\frac{1}{8}$x²-$\frac{3}{2}$x-8，
配方，得
y=$\frac{1}{8}$（x-6）²-$\frac{25}{2}$，即F点坐标为（6，-$\frac{25}{2}$）；
（3）①如图1，
由A，B．M为顶点的三角形面积与△ABC的面积相等，得
M点纵坐标为-8，或8．
当y=-8时，$\frac{1}{8}$x²-$\frac{3}{2}$x-8=-8，解得x=0（不符合题意，舍），x=12，即M（12，-8）；
当y=8时，$\frac{1}{8}$x²-$\frac{3}{2}$x-8=8，解得x=6-2$\sqrt{41}$，x=6+2$\sqrt{41}$，即M（6-2$\sqrt{41}$，8），（6+2$\sqrt{41}$，8）；
综上所述：以A，B．M为顶点的三角形面积与△ABC的面积相等，点M的坐标（12，-8），（6-2$\sqrt{41}$，8），（6+2$\sqrt{41}$，8）；
②如图2，
由勾股定理，得
EM²=100，EF²=（-$\frac{25}{2}$）²=$\frac{625}{4}$，FM²=（12-6）²+（$\frac{25}{2}$-8）²=36+$\frac{81}{4}$=$\frac{225}{4}$．
FM²+EM²=100+$\frac{225}{4}$=$\frac{625}{4}$，
FM²+EM²=EF²，
由勾股定理得逆定理，得
FM⊥EM．
由FM经过半径的外端，FM是⊙M的切线．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用平行线间的距离相等得出M的纵坐标是解题关键；利用勾股定理及逆定理是解题关键．