Question

1．已知P为等腰△ABC内一点，AB=BC，∠BPC=108°，D为AC的中点，BD与PC交于点E，如果点P为△ABE的内心，则∠PAC=48°．

Answer 1

分析 先画图，由对顶角和题意可得∠PEA=∠PEB=∠CED=∠AED=60°，即可求∠PCA，∠PBE，∠ABD，∠BAD，∠PAE的值，由∠PAC=∠PAE+∠CAE即可得解．

解答 解：如图所示：
由题意可得：∠PEA=∠PEB=∠CED=∠AED，
而∠PEA+∠PEB+AED=180°，
所以∠PEA=∠PEB=∠CED=∠AED=60°，
所以可得∠PCA=30°，
又∠BPC=108°，所以∠PBE=12°，从而∠ABD=24°，
所以∠BAD=90°-24°=66°，
所以∠PAE=$\frac{1}{2}$（∠BAD-∠CAE）=$\frac{1}{2}$（66°-30°）=18°，
所以∠PAC=∠PAE+∠CAE=18°+30°=48°．
故答案为：48°．

点评 本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内心，三角形内角和等知识的应用，考查了分析问题解决问题的能力，考查了转化思想，属于中档题．