Question

6．已知∠ACB=∠ADB=90°，点N为AB的中点．

（1）如图1，过N作MN⊥CD于M，求证：CM=DM；
（2）如图2，过A、B分别作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足为E、F，求证：CE=DF；
（3）如图3，在（2）的条件下，将△ABC沿直线AB翻折，问（2）中结论是否仍然成立？请证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形斜边中线定理可知：CN=DN=$\frac{1}{2}$AB，再利用等腰三角形三线合一的知识解决即可．
（2）图2中，作NM⊥CD垂足为M，连接CN、DN，欲证明CE=DF只要证明CM=MD，EM=MF即可．
（3）方法类似（2）略．

解答 （1）证明：如图1中，连接CN、DN
在RT△ACB中，∵AN=BN，∠ACB=90°，
∴CN=$\frac{1}{2}$AB，同理DN=$\frac{1}{2}$AB，
∴CN=DN，
∵NM⊥CD，
∴CM=MD．
（2）证明：在图2中，作NM⊥CD垂足为M，连接CN、DN，
由（1）可知CN=DN，∵NM⊥CD，
∴CM=MD，
∵AE⊥CD，BF⊥CD，NM⊥CD，
∴AE∥NM∥BF，
∵AN=BN，
∴EM=MF，∵CM=MD，
∴EC=DF．
（3）结论仍然成立．
证明：如图3中取AB中点N，连接DN、CN作NM⊥CD垂足为M．
由（1）可知CN=DN，∵NM⊥CD，
∴CM=MD，
∵AE⊥CD，BF⊥CD，NM⊥CD，
∴AE∥NM∥BF，
∵AN=BN，
∴EM=MF，∵CM=MD，
∴EC=DF．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键的利用等腰三角形三线合一解决问题，属于中考常考题型．