Question

13．在正方形ABCD中，E是BC边上的点，F是CD边上的点，且AE=AF，AB=4，设△AEF的面积为y，EC为长为x
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当△AEF为正三角形时，求△AEF的面积．

Answer 1

分析 （1）根据AB，CE长度，利用S_△AEF=16-S_△ABE-S_△ADF-S_△CE即可解决．
（2）根据△AEF为正三角形时得∠BAE=15°，在AB上取一点M使得AM=ME，则∠MAE=∠AEM=15°，所以∠BME=30°，设BE=a，则AM=ME=2a，BM=4-2xa，在RT△MBE利用勾股定理即可求出a，进而得出EC，再利用（1）结论计算．

解答 解：（1）在RT△ABE和RT△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴RT△ABE≌RT△ADF（HL），
∴BE=DF，
∵CE=x，AB=BC=CD=4
∴BE=4-x，
∴S_△AEF=16-S_△ABE-S_△ADF-S_△CEF
y=16-$\frac{1}{2}$×4×（4-x）-$\frac{1}{2}$×4×（4-x）-$\frac{1}{2}$x²
=-$\frac{1}{2}$x²+4x．
（2）∵△AEF是等边三角形，
∴∠EAF=60°，
∵RT△ABE≌RT△ADF，∠BAD=90°
∴∠BAE=∠DAF=15°，在AB上取一点M使得AM=ME，则∠MAE=∠AEM=15°，
∴∠BME=30°，
设BE=a，则AM=ME=2a，BM=4-2xa，
在RT△MBE中，∵BM²+BE²=ME²，
∴（4-2a）²+a²=（2a）²，
∴a=8-4$\sqrt{3}$（或8+4$\sqrt{3}$不合题意舍弃）
∴x=EC=4-（8-4$\sqrt{3}$）=4$\sqrt{3}$-4
把x=4$\sqrt{3}$-4代入y=-$\frac{1}{2}$x²+4x得y=32$\sqrt{3}$-48，
∴△AEF的面积为32$\sqrt{3}$-48．

点评 本题考查正方形的性质、直角三角形中30度角的性质勾股定理等知识，解题的关键是15度角如何转化为30度角，属于中考常考题型．