Question

如图，在平面直角坐标系中，A（16，0）、C（0，8），四边形OABC是矩形，D、E分别是OA、BC边上的点，沿着DE折叠矩形，点A恰好落在y轴上的点C处，点B落在点B′处．
（1）求D、E两点的坐标；
（2）反比例函数在第一象限的图象经过E点，判断B′是否在这个反比例函数的图象上？并说明理由；
（3）点F是（2）中反比例函数的图象与原矩形的AB边的交点，点G在平面直角坐标系中，以点D、E、F、G为顶点的四边形是平行四边形，求G点的坐标．

Answer 1

解：（1）OA=16，OC=8，
设OD=m，则CD=DA=16-m
在Rt△COD中，∠COD=90°
∵CD²=OC²+OD²
∴（16-m）²=8²+m²
解得m=6，
∴D（6，0）
∵四边形OABC是矩形
∴OA∥CB
∴∠CED=∠EDA
∵∠EDA=∠CDE
∴∠CED=∠CDE
∴CE=CD=10，E（10，8）

（2）如图，过B′作B′M⊥BC于M
∵B′C=AB=8，B′E=BE=6，∠CB′E=90°
∴B′M=
CM=，B′（6.4，12.8）
∵k=10×8=80，
又∵6.4×12.8≠80
∴点B′不在这个反比例函数的图象上

（3）当x=16时，y=5
∴F（16，5）
有三种情况如图：
①把线段DE先向右平移10个单位长度，再向上平移5个单位，端点E落在G₁处，G₁（20，13）；
②把线段EF先向左平移4个单位长度，再向下平移8个单位，端点F落在G₂处，G₂（12，-3）；
③把线段DF先向左平移6个单位长度，再向上平移3个单位，端点D落在G₃处，G₃（0，3）．
综上所述，在平面直角坐标系中存在G₁（20，13）、G₂（12，-3）、G₃（0，3）使得以点D、E、F、G为顶点的四边形是平行四边形．
分析：（1）设OD=m，则CD=DA=16-m，在Rt△COD中，由勾股定理可得m=6，即可得D的坐标，再根据矩形的性质，可得CE=CD=10，可得E的坐标；
（2）过B′作B′M⊥BC于M，易得B′M与CM的长，进而可得k的值，根据题意，可得答案；
（3）根据题意，分三种情况讨论，可得在平面直角坐标系中存在G₁、G₂、G₃的坐标，进而可得答案．
点评：本题考查了反比例函数的图象的性质以及其与直线的关系，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．