Question

【题目】直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，菱形ABCD如图放置在平面直角坐标系中，其中点D在x轴负半轴上，直线y=x+m经过点C，交x轴于点E．

①请直接写出点C、点D的坐标，并求出m的值；

②点P（0，t）是线段OB上的一个动点（点P不与O、B重合），经过点P且平行于x轴的直线交AB于M、交CE于N．设线段MN的长度为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；

③点P（0，t）是y轴正半轴上的一个动点，为何值时点P、C、D恰好能组成一个等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）m=9；（2）；（3）t=4，或t=，t=时，△PCD均为等腰三角形.

【解析】

试题（1）由直线的解析式可求出A和B点的坐标，再根据菱形的性质即可求出点C、点D的坐标，把点C的坐标代入直线y=x+m即可求出m的值；

（2）设点M的坐标为（xM，t），点N的坐标为（xN，t），首先求出xM=﹣t+3，再求出xN=t﹣9，进而得到d=xM﹣xN=﹣t+3﹣（t﹣9）=﹣t+12；

（3）由A和B的坐标可求出AB的长，再分三种情况分别讨论求出符合题意的t值即可．

试题解析：（1）∵直线y=﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，

∴点A的坐标为（3，0）点B的坐标为（0，4），

∵四边形ABCD是菱形，

∴点C的坐标为（﹣5，4），点D的坐标为（﹣2，0），

∵直线y=x+m经过点C，

∴m=9，

（2）∵MN 经过点P（0，t）且平行于x轴，

∴可设点M的坐标为（xM，t），点N的坐标为（xN，t），

∵点M在直线AB上，

直线AB的解析式为y=﹣x+4，

∴t=，得xM=﹣t+3，

同理点N在直线CE上，直线CE的解析式为y=x+9，

∴t=xN+9，得xN=t﹣9，

∵MN∥x轴且线段MN的长度为d，

∴d=xM﹣xN=﹣t+3﹣（t﹣9）=﹣t+12；

（3）∵直线AB的解析式为y=﹣x+4，

∴点A 的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4），AB=5，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=5，

∴点P运动到点B时，△PCD即为△BCD是一个等腰三角形，此时=4；

∵点P（0，t）是y轴正半轴上的一个动点，

∴OP=t，PB=|t﹣4|，

∵点D的坐标为（﹣2，0），

∴OD=2，由勾股定理得PD2=OD2+OP2=4+t2，

同理，CP2=BC2+BP2=25+（t﹣4）2，

当PD=CD=5时，PD2=4+t2=25，

∴t=（舍负），

当PD=CP时，PD2=CP2，4+t2=25+（t﹣4）2，

∴t=，

综上所述，t=4，或t=，t=时，△PCD均为等腰三角形．