Question

13．如图，在△ABC中，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，求：
（1）若∠A=50°，求∠BOC的度数．
（2）在其他条件不变的情况下，若∠A=n°，则∠A与∠BOC之间有怎样的数量关系？

Answer 1

分析 （1）根据三角形的内角和得到∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°，由于BO、CO分别是△ABC的角∠ABC、∠ACB的平分线，得到∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）根据∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，得到∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，于是得到∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），根据三角形内角和即可得到结论．

解答 解：（1）∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°，
∵BO、CO分别是△ABC的角∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=65°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-65°=115°；

（2）∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），
在△OBC中，
∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）
=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
即∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A．

点评 本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，熟记三角形的内角和是解题的关键．