Question

3．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE、OE．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）求证：BC²=2CD•OE；
（3）若cosC=$\frac{2}{3}$，DE=4，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）连接BD，OD，运用直径所对的圆周角为90°，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半，即可求证；
（2）通过证明△BCD∽△ACB，结合三角形的中位线定理即可证明；
（3）在直角三角形BDC和直角三角形ABC中，运用三角函数即可求出CD和AC的值，进而求解．

解答 解：（1）如图1，

连接BD，OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BDC=90°，
在Rt△BDC中，E是BC的中点，
∴DE=CE=BE=$\frac{1}{2}$BC，
∴∠3=∠4，
∵OD=OB，
∴∠1=∠2，
∴∠ODE=∠1+∠3=∠2+∠4=90°，
∴DE与⊙O相切；
（2）如图2，

在直角三角形ABC中，∠C+∠A=90°，
在直角三角形BDC中，∠C+∠4=90°，
∴∠A=∠4，
又∵∠C=∠C，
∴△BCD∽△ACB，
$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{BC}$，
∴BC²=AC•CD，
∵O是AB的中点，E是BC的中点，
∴AC=2OE，
∴BC²=2CD•OE；
（3）如图3，

由（2）知，DE=$\frac{1}{2}$BC，又DE=4，
∴BC=8，
在直角三角形BDC中，$\frac{CD}{BC}$=cosC=$\frac{2}{3}$，
∴CD=$\frac{16}{3}$，
在直角三角形ABC中，$\frac{BC}{AC}$=cosC=$\frac{2}{3}$，
∴AC=12，
∴AD=AC-CD=$\frac{20}{3}$．

点评 此题主要考查圆的综合问题，会运用垂直证明圆的切线，会组织条件证明三角形相似，会灵活运用三角函数求线段是解题的关键．