Question

12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径作⊙O，交AB于点D，取AC的中点E，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若tanB=$\frac{4}{3}$，DE=5，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）连接CD和OD，根据圆周角定理得出∠CDB=90°，根据直角三角形性质得出DE=CE=AE，求出∠ACD+∠DCO=∠EDC+∠CDO，求出OD⊥DE，根据切线的判定得出即可；
（2）求出AC=10，解直角三角形求出BC，根据勾股定理得出方程，求出x，即可求出答案．

解答 证明：（1）
连接CD和OD，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠CDB=90°，
∴∠ADC=90°，
∵E为AC的中点，
∴DE=CE=AE，
∴∠ACD=∠EDC，
∵OC=OD，
∴∠DCO=∠CDO，
∴∠ACD+∠DCO=∠EDC+∠CDO，
∴∠ACB=∠EDO=90°，
即OD⊥DE，
∵OD为半径，
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：∵DE=5，
∴AC=AE+CE=2DE=10，
∵tanB=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$，
∴BC=$\frac{15}{2}$，
在Rt△CDB中，tanB=$\frac{CD}{BD}$=$\frac{4}{3}$，
设CD=4x，BD=3x，
则由勾股定理得：BC²=CD²+BD²，
即（4x）²+（3x）²=（$\frac{15}{2}$）²，
解得：x=$\frac{3}{2}$，
BD=3x=$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了直角三角形的性质，切线的判定，圆周角定理，勾股定理的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，题目综合性比较强．