Question

18．已知：如图，BE、BF分别是∠ABC与它的邻补角∠ABD的平分线，AE⊥BE，垂足为点E，AF⊥BF，垂足为点F，EF分别交边AB、AC于点M和N．求证：
（1）四边形AFBE是矩形；
（2）MN=$\frac{1}{2}$BC．

Answer 1

分析 （1）由BE、BE是角平分线可得∠EBF是90°，进而由条件中的两个垂直可得两个直角，可得四边形AEBF是矩形；
（2）由矩形的F质可得∠2=∠5进而利用角平分线的性质可得∠1=∠5，可得ME∥BC，进而可得N为AC中点，根据三角形中位线性质求出即可．

解答 证明：（1）∵BE、BF分别是△ABC中∠B及它的外角的平分线，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠2+∠3=90°，
∵AE⊥BE，E为垂足，AF⊥BF，F为垂足，
∴∠AFB=∠AEB=90°，
∴四边形AEBF为矩形；

（2）∵四边形AEBF为矩形，
∴BM=MA=ME，
∴∠2=∠5，
∵∠2=∠1，
∴∠1=∠5，
∴ME∥BC，
∵M是AB的中点，
∴N为AC的中点，
∴MN=$\frac{1}{2}$BC．

点评 本题考查了矩形的判定与性质，三角形中位线性质，平行线的判定的应用，用到的知识点为：有3个角是直角的四边形是矩形；矩形的对角线平分且相等．