Question

10．我校运动会需购买A、B两种奖品．若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元．
（1）求A、B两种奖品单价各是多少元？
（2）学校计划购买A、B两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍．设购买A种奖品m件，购买费用为W元，写出W（元）与m（件）之间的函数关系式并确定花费最少的购买方案．

Answer 1

分析 （1）设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，根据题意列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）根据花费=购买单价×购买数量，可以得出W关于m的函数解析式，由已知给定的条件可列出关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出m的取值范围，结合函数的单调性即可得出结论．

解答 解：（1）设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，根据题意可得：
$\left\{\begin{array}{l}{3x+2y=60}\\{5x+3y=95}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=10}\\{y=15}\end{array}\right.$．
答：A种奖品的单价为10元，B种奖品的单价为15元．
（2）购买A种奖品m件，则购买B种奖品100-m件，
根据题意可知：W=10m+15（100-m）=1500-5m，
且m满足$\left\{\begin{array}{l}{m≤3（100-m）}\\{1500-5m≤1150}\end{array}\right.$，即70≤x≤75．
由于W（元）关于m（件）之间的函数单调递减，
故当m=75时，W最小，且此时W=1125，100-75=25（件）．
答：W（元）与m（件）之间的函数关系式为W=1500-5m（70≤x≤75），当A种奖品购买75件，B种奖品购买25件时，花费最少，最少费用为1125元．

点评 本题考查了一次函数的应用、解二元一次方程组以及解一元一次不等式组，解题的关键：（1）找出关于A、B两种奖品单价的二元一次方程组；（2）由花费=购买单价×购买数量找出W关于m的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，解决该类题型需要了解题中各数量之间的关系，以及能结合一次函数的性质求出最值．