Question

【题目】如图①，已知点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，求证四边形FFG是平行四边形．根据以下思路可以证明四边形EFGH是平行四边形：

（1）根据上述思路，请你写出完整的证明过程；

（2）如图，已知，分别以AB、AC为边，在BC同侧作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BF．可通过证明△________≌△________，得到；

（3）如图③，点P是四边形ABCD内一点，且满足，，，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想四边形EFGH的形状，并证明．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）ADC，ABE；（3）四边形EFGH为菱形，理由见解析

【解析】

（1）连接BD，根据三角形的中位线的性质得到∥，，由平行四边形的判定定理即可得到结论；

（2）先利用等边三角形的性质得AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，则∠DAC=∠BAE，于是根据证得，从而得到结论；

（3）连接AC、BD，如图3，先证明△PBD≌△APC得到BD=AC，再利用三角形中位线性质得到HG=HE，接着根据（1）中结论和菱形的判定方法可判断四边形EFGH为菱形．

（1）∵点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，

∴EH是的中位线，FG是的中位线，

∴∥，，∥，，

∴∥，，

∴四边形EFGH是平行四边形；

（2）ADC，ABE；

理由是：

∵和都是等边三角形，

∴，，，

∴，即，

在和中，

∴，

∴．

（3）四边形EFGH为菱形

如图，连接AC、BD，

∵，

∴，即，

在和中，，

∴，

∴，

∵，，，

∵由（1）中的结论可知，四边形EFGH为平行四边形，

∴四边形EFCH为菱形．