Question

如图，抛物线y=

1

2

x²+mx+n交x轴于A、B两点，直线y=kx+b经过点A，与这条抛物线的对称轴交于点M（1，2），且点M与抛物线的顶点N关于x轴对称．
（1）求这条抛物线的函数关系式；
（2）根据图象，写出函数值y＜0时，自变量x的取值范围；
（3）设题中的抛物线与直线的另一交点为C，已知P（x，y）为直线AC上一点，过点P作PQ⊥x轴，交抛物线于点Q．当-1≤x≤5时，求线段PQ的最大值及此时P坐标；
（4）在（3）的条件下，求△AQC面积的最大值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）由于点M和抛物线顶点关于x轴对称，即可得到点N的坐标，进而表示出该抛物线的顶点坐标式函数解析式．
（2）令二次函数解析式中y=0求出x的值，确定出A与B的坐标，利用函数图象即可求出y小于0时x的范围；
（3）将点A与点B的坐标代入y=kx+b求出k与b的值，确定直线AC的解析式，得到点P坐标为（x，x+1），根据直线AC和抛物线的解析式，即可得到P、Q的纵坐标，从而得到关于PQ的长和P点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出PQ的最大值及对应的P点坐标；
（4）由于△AQC面积=△AQP面积+△CPQ面积，根据三角形面积公式将PQ的最大值代入计算即可求解．

解答：解：（1）由题意知，抛物线顶点N的坐标为（1，-2），
故其函数关系式为y=

1

2

（x-1）²-2=

1

2

x²-x-

3

2

；

（2）（2）由

1

2

x²-x-

3

2

=0，
得x=-1或3，即A（-1，0）、B（3，0）；
根据图象得：函数值y为负数时，自变量x的取值范围为-1＜x＜3；

（3）由（2）得：A（-1，0）、B（3，0）；
∵将A（-1，0）、M（1，2）代入y=kx+b中得：

0=-k+b 2=k+b

，
解得：

k=1 b=1

．
∴直线AC的函数关系式为y=x+1，
解方程组

y=x+1 y= 1 2 x2-x- 3 2

得x=-1或5，
即A（-1，0）、C（5，6）；
∵P（x，y），-1≤x≤5，
∴P在线段AC之间，
设P坐标为（x，x+1），则Q的坐标为（x，

1

2

x²-x-

3

2

，
∴PQ=（x+1）-（

1

2

x²-x-

3

2

）=-

1

2

x²+2x+

5

2

=-

1

2

（x-2）²+

9

2

，
∴当x=2时，线段PQ有最大值

9

2

，此时P坐标为（2，3）；

（4）△AQC面积=△AQP面积+△CPQ面积=

1

2

×PQ×6=

1

2

×

9

2

×6=

27

2

．
故△AQC面积的最大值是

27

2

．

点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法、二次函数最值的应用、坐标与图形性质，三角形面积，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法及数形结合的思想是解本题的关键．