Question

如图，四边形ABCD中AB∥CD，对角线AC，BD相交于O，点E，F分别为BD上两点，且BE=DF，∠AEF=∠CFB．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC=2OE，试判断四边形AECF的形状，并说明理由．

Answer 1

考点：平行四边形的判定,矩形的判定

专题：

分析：（1）证得AB平行且等于CD，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判断即可；
（2）根据平行四边形的性质证得四边形ACEF为平行四边形，然后利用矩形的判定定理判定该平行四边形为矩形即可．

解答：（1）证明：
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
又∵∠AEF=∠CFB，
∴∠AEB=∠CFD，
又∵BE=DF，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AB=CD，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD OA=OC=

1

2

AC
∵BE=DF
∴OB-BE=DO-DF
∴OE=OF
又∵OA=OC
∴四边形AECF是平行四边形
又∵AC=2OE，EF=2OE
∴AC=EF
∴平行四边形AECF是矩形．

点评：本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定及性质，属于四边形的基础知识，难度不大．