Question

如图，二次函数y=-

5

4

x²+bx+c的图象经过点（-1，4），且与直线y=-

1

2

x+1相交于点A、B．
（1）求二次函数解析式；
（2）求点B坐标；
（3）点N是二次函数上一点（点N在线段AB上方），过N作NP⊥x轴垂足为点P，交AB于M，求MN最大值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）首先求得A的坐标，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）根据求得的二次函数的解析式和直线的解析式求得交点坐标即可求得点B的坐标；
（3）设M的横坐标是x，则根据M和N所在函数的解析式，即可利用x表示出M、N的坐标，利用x表示出MN的长，利用二次函数的性质求解．

解答：解：（1）由直线y=-

1

2

x+1可知A（0，1），又点（-1，4）经过二次函数，
根据题意得：

c=1 - 5 4 -b+c=4

，
解得：

b=- 17 4 c=1

，
则二次函数的解析式是：y=-

5

4

x²-

17

4

x+1；

（2）∵y=-

5

4

x²-

17

4

x+1与直线y=-

1

2

x+1相交于点A、B，
∴-

5

4

x²-

17

4

x+1=-

1

2

x+1，
解得：x=0或x=-3，
∴y=1或y=

5

2

，
∴B（-3，

5

2

）；

（3）设N（x，-

5

4

x²-

17

4

x+1），
则M（x，-

1

2

x+1），P（x，0）．
∴MN=PN-PM
=-

5

4

x²-

17

4

x+1-（-

1

2

x+1）
=-

5

4

x²-

15

4

x
=-

5

4

（x+

3

2

）²+

45

16

，
则当x=-

3

2

时，MN的最大值为

45

16

；

点评：本题是待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的性质的综合应用，利用二次函数的性质可以解决实际问题中求最大值或最小值问题．