Question

如图，已知抛物线y=

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x²+bx与直线y=2x交于点O（0，0），A（a，12），点B是抛物线上O，A之间的一个动点，过点B分别作x轴、y轴的平行线与直线OA交于点C，E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设点B的横坐标为m，当m取何值时，BE的长达到最大值，并求出该最大值；
（3）以BC，BE为边构造矩形BCDE，设点D的坐标为（m，n），求出m，n之间的关系式．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）将点A的坐标代入直线解析式求出a的值，继而将点A的坐标代入抛物线解析式可得出b的值，继而得出抛物线解析式；
（2）根据点B的横坐标为m，表示出点B的坐标是（m，

1

2

m²-m），点E的坐标为（m，2m），根据两点间的距离公式和配方法即可求解；
（3）根据点D的坐标，可得出点E的坐标，点C的坐标，继而确定点B的坐标，将点B的坐标代入抛物线解析式可求出m，n之间的关系式．

解答：解：（1）∵点A（a，12）在直线y=2x上，
∴12=2a，
解得：a=6，
又∵点A是抛物线y=

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2

x²+bx上的一点，
将点A（6，12）代入y=

1

2

x²+bx，可得b=-1，
∴抛物线解析式为y=

1

2

x²-x．

（2）∵点B的横坐标为m，
∴点B的坐标是（m，

1

2

m²-m），点E的坐标为（m，2m），
∴BE=2m-（

1

2

m²-m）=-

1

2

（m-3）²+

9

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，
∴当m取3时，BE的长达到最大值，最大值是

9

2

；

（3）∵直线OA的解析式为：y=2x，
点D的坐标为（m，n），
∴点E的坐标为（

1

2

n，n），点C的坐标为（m，2m），
∴点B的坐标为（

1

2

n，2m），
把点B（

1

2

n，2m）代入y=

1

2

x²-x，可得m=

1

16

n²-

1

4

n，
∴m、n之间的关系式为m=

1

16

n²-

1

4

n．

点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了两点间的距离公式、配方法、矩形的性质、待定系数法求二次函数解析式的知识，解答本题需要同学们能理解矩形四个顶点的坐标之间的关系．