Question

已知：正方形ABCD中，点F为正方形内一点（AF＞BF），AF⊥BF，把△AFB沿BF所在的直线翻折，使点A落在点E处，AE交BC于点H，连接CE．
（1）求∠HEC的度数；
（2）若直线EC、BF交于点G，判断线段BF与CG的数量关系并证明．

Answer 1

考点：正方形的性质,翻折变换（折叠问题）

专题：常规题型

分析：（1）根据AB=BC=BE可以判定A、C、E共圆，圆心为B，所以HEC为45°；
（2）易证RT△ABF∽RT△ACG，即可求得

BF

CG

=

AB

AC

，即可解题．

解答：解：（1）连接AC，

∵BE为AB翻转得到，
∴AB=BE，
∵AB=BC，
∴A、C、E三点共圆，且圆心为B．
∵AC弧所对的圆心角为90°，
∴AC弧对应圆周角∠HEC为45°；
（2）如图，

∵∠HEC=45°，
∴△AGE为等腰直角三角形，
∴∠GAF=45°，
∴△AFG为等腰直角三角形，
∴

AC

AB

=

AG

AF

=

2

，
∵∠BAC=∠GAF，
∴∠BAF=∠GAC，
∴RT△ABF∽RT△ACG   
∴

BF

CG

=

AB

AC

=

2

2

，即CG=

2

BF．

点评：本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比例相等的性质，本题中求证RT△ABF∽RT△ACG是解题的关键．