Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，内切圆⊙I与AC、BC分别相切于点E，D．
（1）试判断四边形CDIE的形状，并说明理由；
（2）若此直角三角形的两条直角边的长分别为9和40，求线段CI的长．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：计算题

分析：（1）根据内切圆的定义和切线的性质得∠IDC=∠IEC=90°，则易证得四边形CDIE为矩形，加上ID=IE，于是可判断四边形CDIE为正方形；
（2）先利用勾股定理计算出AB=41，如图，内切圆⊙I与AB切于F点，设⊙I的半径为r，则CD=CE=r，BD=9-r，AE=40-r，根据切线长定理得到BF=BD=9-r，AF=AE=40-r，则9-r+40-r=41，解方程求出r，然后根据正方形的性质计算CI．

解答：解：（1）四边形CDIE为正方形．理由如下：
∵内切圆⊙I与AC、BC分别相切于点E，D，
∴ID⊥CB，IE⊥AC，
∴∠IDC=∠IEC=90°，
∵∠C=90°，
∴四边形CDIE为矩形，
∵ID=IE，
∴四边形CDIE为正方形；
（2）在Rt△ABC中，∵BC=9，AC=40，
∴AB=

BC2+AC2

=41，
如图，内切圆⊙I与AB切于F点，设⊙I的半径为r，则CD=CE=r，BD=9-r，AE=40-r，
∵D、E、F分别为切点，
∴BF=BD=9-r，AF=AE=40-r，
∵BF+AF=AB，
∴9-r+40-r=41，
∴r=4，
∴正方形CDIE的边长为4，
∴CI=4

2

．

点评：本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了切线的性质与切线长定理．