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【题目】已知二次函数yax12+k的图象与x轴交于AB两点,AB4,与y轴交于C点,E为抛物线的顶点,∠ECO135°.

1)求二次函数的解析式;

2)若P在第四象限的抛物线上,连接AEy轴于点M,连接PEx轴于点N,连接MN,且SEAP3SEMN,求点P的坐标;

3)过直线BC上两点PQPQ的左边)作y轴的平行线,分别交抛物线于NM,若四边形PQMN为菱形,求直线MN的解析式.

【答案】1y=﹣x2+2x+3;(2P坐标为(1+,﹣2);(3)无答案.

【解析】

1)根据二次函数解析式确定出对称轴为直线x1,由AB关于直线x1对称且AB4求得AB坐标,由∠ECO135°得到C的纵坐标为k1,把AC坐标代入函数解析式即求得ak的值;

2)根据点AE的坐标证全等可得点MAE的中点,又AMNEMNAMEM为底时高相等,即面积相等;由SEAP3SEMN可得NAPAMN面积相等,且有公共底边AN,所以高相等,进而得到点P的纵坐标为2,代入抛物线解析式即求出P的横坐标;

3)由于直线BCyx的增大而减小,由条件四边形PQMN为菱形可得MN必须在直线BC的同侧,其菱形必须在y轴右侧.设点P横坐标为p,点Q横坐标为pt,则可用pt表示MN的坐标并把PNPQMQ表示出来,根据菱形性质PNPQMQ列得关于pt的方程组,求解后讨论解是否合理即求出点P坐标.

解:(1)过点EEDy轴于点D,如图1

∴∠CDE90°

∵二次函数yax12+k的图象对称轴为直线x1

xE1yEk,即DE1ODk

∵点AB关于直线x1对称,AB4

A(﹣10),B30

∵∠ECO135°

∴∠DCE45°

CDDE1

OCODCDk1,即yCk1

把点A(﹣10),C0k1)代入二次函数解析式得:

解得:

∴二次函数的解析式为y=﹣(x12+4=﹣x2+2x+3

2)过PPFx轴于点F,如图2

A(﹣10),E14

OADE1OD4

AOMEDM中,

∴△AOM≌△EDMAAS

AMEMOMDMOD2

SAMNSEMN

SEAP3SEMN

SNAPSEAPSAMNSEMN3SEMN2SEMNSEMNSAMN

PGOM2

∵点P在第四象限

yP=﹣(x12+4=﹣2

解得:x1x2(舍去)

∴点P坐标为(,﹣2

3)∵四边形PQMN为菱形

PQMNPNPQMQMN

∴点MN必须同时在直线BC的上方或下方

过点PPHQM于点H,如图3

B30),C03

∴直线BC解析式为y=﹣x+3yx的增大而减小

PQ不可能在y轴左侧

Pp,﹣p+3),Qp+t,﹣pt+3)(p0t0

PHtHQ=﹣p+3﹣(﹣pt+3)=t

PQ

∵点MN在二次函数y=﹣x2+2x+3图象上

Np,﹣p2+2p+3),Mp+t,﹣(p+t2+2p+t+3

PN|p2+2p+3﹣(﹣p+3||p2+3p|

MQ|﹣(p+t2+2p+t+3)﹣(﹣pt+3||p22ptt2+3p+3t|

且两绝对值号里的式子同正同负

∴﹣p2+3p=﹣p22ptt2+3p+3t

解得:(舍去),

(舍去),(舍去),

∴﹣p+3

∴点P坐标为(.

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(2)当点DAB上方,且CDBP时,求证:PC=AC;

(3)在点P的运动过程中

①当点A在线段PB的中垂线上或点B在线段PA的中垂线上时,求出所有满足条件的∠ACD的度数;

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频数分布表

分组

频数

频率

50.560.5

4

0.08

60.570.5

8

0.16

70.580.5

12

0.24

80.590.5

15

0.30

90.5100.5

a

b

合计

1)频数分布表中a   b   

2)抽取的样本容量是   ,请补全频数分布直方图.

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A. B. C. D.

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下面是小平的探究过程,请补充完整:

1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量,分别得到了yx的几组对应值;

x/cm

0

1

2

3

4

5

6

y1/cm

5.37

4.06

2.83

m

3.86

4.83

5.82

y2/cm

2.68

3.57

4.90

5.54

5.72

5.79

5.82

经测量m的值是(保留一位小数).

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