Question

【题目】如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为2．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）在y轴上求一点P，使PA+PB的值最小，并求出其最小值和P点坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝；（2）y＝﹣x+，点P的坐标为（0，）．

【解析】

（1）利用反比例函数k的几何意义即可求出反比例函数的解析式；

（2）先把解析式联立组成方程组求出A、B两点的坐标，再利用轴对称的性质找到符合条件的点P的位置，利用一次函数与y轴的交点求出P点坐标，再利用勾股定理求出最小距离和．

（1）设A点的坐标为（a，b），则OM＝a，AM＝b，

∵△AOM面积为2，

∴ab＝2，

∴ab＝4，

∵点A在反比例函数图象上，

∴k＝4，

∴反比例函数的解析式为y＝；

（2）依题意可知，A、B两点的坐标为方程组的解，

解方程组得：点A的坐标为（2，2），点B的坐标为（4，1），

点A关于y轴的对称点A′的坐标为（﹣2，2），连接A′B，交y轴于点P，点P即为所求，此时PA+PB最小，最小值为A′B的长．

由勾股定理得：A′B＝．

设直线A′B的解析式为y＝kx+b，带入A′，B的坐标得，

解得：，

∴，点P的坐标为（0，）．