Question

17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AM是⊙O的直径，过点A作AP⊥AM．
（1）求证：∠PAC=∠ABC．
（2）连接PB与AC交于点D，与⊙O交于点E，F为BD上的一点，若M为$\widehat{BC}$的中点，且∠DCF=∠P，求证：$\frac{CD}{AD}$=$\frac{FD}{ED}$．

Answer 1

分析 （1）连接BM，由圆周角定理和垂直的性质即可证明∠PAC=∠ABC；
（2）连接AE，根据垂径定理得出AM⊥BC，进而得出AP∥BC，得出△ADE∽△CDF，根据相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得出$\frac{CD}{AD}=\frac{FD}{ED}$．

解答 证明：
（1）连接BM，
∵AM是直径，
∴∠ABM=90°                    
又∵AP⊥AM，
∴∠ABC+∠CBM=∠PAC+∠CAM=90°，
又∵∠CBM=∠CAM，
∴∠PAC=∠ABC；
（2）连接AE，
∵AM是直径，M为$\widehat{BC}$的中点
∴BC⊥AM，
又∵AP⊥AM，
∴AP∥BC，
∴∠DCF=∠P=∠PBC=∠EAC，
又∵∠CDF=∠ADE，
∴△ADE∽△CDF，
∴$\frac{CD}{AD}=\frac{FD}{ED}$．

点评 本题考查了三角形相似的判定和性质、圆周角定理的应用以及垂径定理的应用，解答时正确添加辅助线是关键．