Question

8．已知抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-（m-3）x+$\frac{5-4m}{2}$．
（1）求证：无论m为任何实数，抛物线与x轴总有两个交点；
（2）若抛物线对称轴x=-1，且反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的图象与抛物线在第一象限内的交点的横坐标为x₀，且满足2＜x₀＜3，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令y=0，则$\frac{1}{2}$x²-（m-3）x+$\frac{5-4m}{2}$=0，由判别式得出△=（m-1）²+3，不论m为任何实数，都有（m-1）²+3＞0，即△＞0，即可得出结论．
（2）由抛物线对称轴x=-1，得出m=2，抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$；当2＜x＜3时，对于y=$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$，y随着x的增大而增大，对于y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0），y随着x的增大而减小．分别求出当x₀=2时和当x₀=3时，k的取值范围，即可得出结果．

解答 （1）证明：令y=0，则$\frac{1}{2}$x²-（m-3）x+$\frac{5-4m}{2}$=0，∴△=[-（m-3）]²-4×$\frac{1}{2}$×$\frac{5-4m}{2}$=m²-2m+4=（m-1）²+3，
∴不论m为任何实数，都有（m-1）²+3＞0，即△＞0．
∴不论m为任何实数，抛物线与x轴总有两个交点．
（2）解：∵抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-（m-3）x+$\frac{5-4m}{2}$的对称轴为x=-$\frac{-（m-3）}{2×\frac{1}{2}}$=m-3，
又∵抛物线对称轴x=-1，∴m-3=-1，解得：m=2，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$；
当2＜x＜3时，
对于y=$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$，y随着x的增大而增大，
对于y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0），y随着x的增大而减小．
所以当x₀=2时，由反比例函数图象在二次函数图象上方，得：$\frac{k}{2}$＞$\frac{1}{2}$×2²+2-$\frac{3}{2}$，解得：k＞5．
当x₀=3时，由二次函数图象在反比例函数图象上方，得：$\frac{1}{2}$×3²+3-$\frac{3}{2}$＞$\frac{k}{3}$，
解得：k＜18．
所以k的取值范围为5＜k＜18．

点评 本题考查了抛物线解析式的求法、判别式的应用、二次函数的性质、不等式的解法等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要运用二次函数的性质和解不等式才能得出结果．