Question

如图所示，李华同学在在直角坐标系中画了反比例函数y=

18

x

（x＞0）的图象，然后在双曲线上任取一点A，过A作AC⊥y轴，垂足为点C，作AC的垂直平分线交双曲线于点B，交x轴于点D，连接AB、BC、CD、DA，然后不断改变点A的位置．
（1）在点A的移动过程中，李华发现，无论A点在双曲线的什么位置，四边形ABCD的面积都不变，你知道这个面积是多少吗？请说明理由；
（2）经过反复探索，他认为四边形ABCD始终是菱形，他的猜想正确吗？如果正确请给出证明，如果不正确，说明理由；
（3）在点A移动的过程中，四边形ABCD是否可以为正方形？如果可以，写出此时点A的坐标；如果不可以，简要说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）设A（a，

18

a

），可求出B（

a

2

，

36

a

），由于对角线垂直，计算对角线长积的一半即可；
（2）根据A、B的坐标，判断出对角线互相垂直平分即可；
（3）令对角线长度相等，即可计算出A点坐标．

解答：解：（1）设A（a，

18

a

），则B（

a

2

，

36

a

），
∵AC⊥BD，
∴S_{四边形ABCD}=

1

2

AC•BD=

1

2

×a×

36

a

=18；
（2）∵DE=

18

a

，DB=

36

a

，
∴BD=DE，
又AE=CE，BD⊥AC，
∴四边形ABCD始终是菱形．
（3）由（2）可知，四边形ABCD始终是菱形，
当AC=BD时，四边形ABCD是正方形，
此时，a=

36

a

，
即a²=36，
解得a=6或a=-6（舍去），
此时A（6，3）．

点评：本题考查了反比例函数综合题，涉及点的坐标、菱形的判定和性质、正方形的判定等，综合性强，是一道好题．