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【题目】如图:AB是⊙O的直径,AC交⊙OG,EAG上一点,D为△BCE内心,BEADF,且∠DBE=BAD.

(1)求证:BC是⊙O的切线;

(2)求证:DF=DG;

(3)若∠ADG=45°,DF=1,则有两个结论:①ADBD的值不变;②ADBD的值不变,其中有且只有一个结论正确,请选择正确的结论,证明并求其值.

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)正确的结论:AD﹣BD的值不变,证明见解析,AD﹣BD=.

【解析】试题分析:1)根据三角形内心的性质得出∠DBC=DBE,进而根据已知求得∠DBC=BAD根据圆周角定理即可证得从而求得ABBC,证得结论;
2)连接,根据圆内接四边形外角的性质得出由三角形外角的性质求得证得 进而求得 由三角形内心的性质得出 然后根据AAS证得△DEF≌△DEG,从而证得
3AD上截取DH=BD,连接BHBG证得是等腰直角三角形,得出然后证得△ABH∽△GBD得出求得即可求得

试题解析:(1)证明:∵D为△BCE内心,

∴∠DBC=DBE

∵∠DBE=BAD.

∴∠DBC=BAD

AB的直径,

ABBC

BC的切线;

(2)证明:如图1,连接DE

∵∠DBC=BADDBC=DBE

∴∠DBE=BAD

∴∠ABF+BAD=ABF+DBE

∴∠BFD=ABD

∵∠DGC=ABD

∴∠BFD=DGC

∴∠DFE=DGE

D为△BCE内心,

∴∠DEG=DEB

在△DEF和△DEG

∴△DEF≌△DEG(AAS)

DF=DG

(3)ADBD的值不变;

如图2,在AD上截取DH=BD,连接BHBG

AB是直径,

∴∠AHB=BDG

∵∠BAD=BGD

∴△ABH∽△GBD

DG=1

ADBD=ADDH=AH

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