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已知二次函数y=ax2+bx+3的图象经过(1,)、(2,)两点,与x轴的两个交点的右边一个交点为点A,与y轴交于点B.
(1)求此二次函数的解析式并画出这个二次函数的图象;
(2)求线段AB的中垂线的函数解析式.
(1)y=-x2+x+3;(2)y=x-

试题分析:(1)由二次函数y=ax2+bx+3的图象经过(1,)、(2,)两点根据待定系数法即可求得函数解析式,再根据描点法即可作出函数图象;
(2)作出AB的中垂线CD,交AB于C,交x轴于D,则C(2,),连接BD,则BD=AD,设OD=x,在Rt△BOD中根据勾股定理即可列方程求得x,从而得到点D的坐标,再根据待定系数法即可求得结果.
(1)∵y=ax2+bx+3过(1,)(2,
代入得a+b+3=
4a+2b+3=   
∴a=—1,b=   
∴ y=-x2+x+3   
画出图像如图所示:

(2)作出AB的中垂线CD,交AB于C,交x轴于D,则C(2,
连接BD,则BD=AD,设OD="x"

在Rt△BOD中BD2=OB2+OD
有(4-x)2=32+x2得x= ∴D(,0)  
由C、D两点坐标用待定系数法求k=,b=-     
∴y=x-.
点评:此类问题综合性强,难度较大,在中考中比较常见,一般作为压轴题,题目比较典型.
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②若点P从点O出发向点A作匀速运动,速度为每秒1个单位,同时线段OA上另一个点Q从点A出发向点O作匀速运动,速度为每秒2个单位(当点Q到达点O时停止运动,点P也停止运动).过Q作x轴的垂线,与直线AB交于点F,在QF的左侧作正方形QFMN(当点Q运动时,点M、N也随之运动).若点P运动到t秒时,两个正方形分别有一条边恰好落在同一条直线上,求此刻t的值.

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A.B.
C.D.

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【问题情境】
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【数学模型】
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【探索研究】
(1)我们可以借鉴以前研究函数的经验,先探索函数的图象和性质.
①填写下表,画出函数的图象;
x




1
2
3
4

y

 
 
 
 
 
 
 


②观察图象,写出该函数两条不同类型的性质;
③在求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大(小)值时,除了通过观察图象,还可以通过配方得到.请你通过配方求函数的最小值.
【解决问题】用上述方法解决“问题情境”中的问题,直接写出答案.

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