Question

如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，过I作DE∥BC交BA于点D，交AC于点E．
（1）你能发现哪些结论？把它们一一列出来，并选择一个加以证明；
（2）若AB=7，AC=5，你能求△ADE的周长吗？

Answer 1

解：（1）结论：①BD=DI；
②CE=EI；
③△ADE的周长等于AB+AC；
证明：因BI平分∠DBC，
所以∠DBI=∠CBI，
又因为DE∥BC，
所以∠DIB=∠IBC，
所以∠DIB=∠DBI，
故BD=DI．
同理，CE=EI．
∴△ADE的周长=AD+DI+IE+EA=AB+AC；

（2）由（1）知△ADE周长=AB+AC=7+5=12．
分析：由角平分线以及平行线的性质可以得到等角，从而可以判定△IDB和△IEC是等腰三角形，所以BD=DI，CE=EI，△ADE的周长被转化为△ABC的两边AB和AC的和，即求得△ADE的周长为12．
点评：本题重点考查了等腰三角形的判定，即等角对等边，得到等腰三角形后，再进一步运用性质解答问题．