Question

【题目】水平地面上有一个圆形水池，直径AB长为6m，长为m的一旗杆AC垂直于地面（AC与地面上所有直线都垂直）．

（1）若P为弧AB的中点，试说明∠BPC=90°

（2）若P弧AB为上任意一点（不与A、B重合），∠BPC=90°还成立吗，为什么？

（3）弧AB上是否存在点P使△PAB与△PAC相似，若存在求的值，不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）存在，或

【解析】

（1）根据圆周角定理可得∠APB＝90°,根据线面垂直定理可得PB⊥面PAC，继而求证；

（2）成立，根据圆周角定理可得∠APB＝90°,根据线面垂直定理可得PB⊥面PAC，继而得出结论；

（3）分两种情况讨论，当△PAB∽△APC时，，进而求出PB的长，根据勾股定理，求出PA的长，即可求的值；当△PAB∽△ACP时, 整理得：，

由勾股定理可得：，可列关于PB的方程，解方程舍去负数即可得PB，进而得PA的值，从而可求的值．

（1）∵AB是⊙O的直径

∴∠APB＝90°

∴BP⊥AP

∵CA⊥面APB

∴CA⊥BP

∴BP⊥面PAC

∴BP⊥PC

∴∠BPC＝90°

（2）∠BPC=90°成立．

理由：∵AB是⊙O的直径

∴∠APB＝90°

∴BP⊥AP

∵CA⊥面APB

∴CA⊥BP

∴BP⊥面PAC

∴BP⊥PC

∴∠BPC＝90°

（3）存在，

当△PAB∽△APC时，，

∵AC＝，

∴，

∴，

又∵AB＝6，∠APB＝90°，

由勾股定理可得：

，

；

当△PAB∽△ACP时, ，

即

∵

∴

∵在Rt△PAB中，AB＝6,

由勾股定理可得：

∴

解得：PB＝或PB＝（舍去）

∴

∴

∴

综上所述，弧AB上存在点P使△PAB与△PAC相似，＝或．