Question

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），OA=AC，∠OAC=90°，点D为x轴上一动点，以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF．
（1）当点D在线段OC上时（不与点O、C重合），则线段CF与OD之间的数量关系为

 

；位置关系为

 

．
（2）当点D在线段OC的延长线上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请举一反例；
（3）设D点坐标为（t，0）当D点从O点运动到C点时，用含t的代数式表示E点坐标，并直接写出E点所经过的路径长．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）比较两个线段的大小，首先要表示出两条线段．连接CF，发现△ODA与△CFA非常相近，进而考虑是否全等．通过同角的余角相等可得∠OAD=∠CAF，由正方形性质可得AD=AF，再由已知OA=OC易证，即得两三角形全等，而OD=CF．位置关系由图易猜想为垂直，即考虑∠FCO是否等于90°．∠FCO=∠FCA+∠ACO，由△ODA≌△CFA，所以∠FCA=∠DOA，即∠FCO=∠FCA+∠ACO=∠DOA+∠ACO（Rt△OAC的两个锐角的和），故∠FCO=90°，猜想成立．
（2）分析本问，首先要表示出该情形．在备用图中x轴上C的右方任取一点，按题目要求构造正方形ADEF，连接CF，观察发现（1）的结论好像在这种情形下依然成立．利用（1）的方法证明，结论易得．
（3）求某点坐标首先要做关于x轴、y轴的平行线将其横纵坐标表示出来，如图发现情况分为t＜1，t=1，t＞1三种．分别讨论利用全等三角形代换所求边长易得结论．注意边长都是正数，而若点出现在三四象限，纵坐标的值要为边长的相反数．后半问的经过路径长首先要清楚点的运动路径．根据上半问的坐标可以分析出点运动的轨迹，再利用所求知识求得．

解答：解：
（1）相等； 垂直．

（2）（1）中结论依然成立，即OD=CF，OD⊥CF

在x轴C点右方任取一点D，连接AD，并以AD为一边如图建立正方形ADEF，连接CF．
∵∠OAC=90°，∠DAF=90°
∴∠OAC=∠DAF
∴∠OAD=∠OAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD=∠CAF
在△OAD和△CAF中

OA=DA ∠OAD=∠CAF AD=AF

∴△OAD≌△CAF
∴OD=CF，∠AOD=∠ACF
∴∠OCF=∠OCA+∠ACF=∠OCA+∠AOC
在Rt△OAC中
∵∠OCA+∠AOC=90°
∴∠OCF=90°
∴OD⊥CF

（3）过点A作AG⊥x轴于G，过点E作EH⊥x轴于H

∵OA=CA
∴OG=CG
∵A的坐标为（1，1）
∴OG=1，AG=1，OC=2
当D在线段OG上，如左图，此时t＜1，则DG=1-t
在Rt△ADG中
∵∠DAG+∠ADG=90°，∠ADG+∠HDE=90°
∴∠DAG=∠HDE
在△ADG和△DEH中

∠DAG=∠EDH ∠AGD=∠DHE AD=DE

∴△ADG≌△DEH
∴HE=DG=1-t，DH=AG=1
∴OH=OD+DH=t+1
∴E点坐标为（t+1，-（1-t）），即（t+1，t-1）
当D与G点重合，E点与C点重合，即E点坐标为（2，0）．由此时t=1，所以E点坐标也为（t+1，t-1）
当D在线段GC上，如右图，此时t＞1，则DG=t-1
∵∠ADE=90°
∴∠ADG+∠HDE=90°
在Rt△ADG中
∵∠DAG+∠ADG=90°
∴∠DAG=∠HDE
在△ADG和△DEH中

∠DAG=∠EDH ∠AGD=∠DHE AD=DE

∴△ADG≌△DEH
∴HE=DG=t-1，DH=AG=1
∴OH=OD+DH=t+1
∴E点坐标为（t+1，t-1）
综上所述，E点坐标为（t+1，t-1），0≤t≤2
由（t+1，t-1）在y=x-2上，则E点由（1，-1）直线运动到（3，1），作关于x轴、y轴的平行线，利用勾股定理易得，E点运动的距离为2

2

．

点评：本题的难度不是很高，学生只要清晰概念很容易得到前两问的结论．但第三问中注意边长都是正数，而若点出现在三四象限，纵坐标的值要为边长的相反数，这里是易错点．另外后半问的求经过路径长首先要清楚的是点的运动路径．这要根据上半问的坐标分析得出，方法既横坐标如何变换（不含字母）得到纵坐标，以确定点的运动方程，此类考点不常出现，须特殊留意．最后在坐标系中求点到点的距离一般都是分别作x轴、y轴的平行线构造直角三角形，进而利用勾股定理求得，这类常规题也许多加练习．