Question

如图，已知△ABC是边长为4的等边三角形，AB在x轴上，点C在第一象限，AC交y轴于点D，点A的坐标为（-1，0）．
（1）求B、C、D三点的坐标；
（2）抛物线y=ax²+bx+c经过B、C、D三点，求它的解析式；
（3）过点D作DE∥AB交经过B、C、D三点的抛物线于点E，求DE的长．

Answer 1

解：（1）OB=AB-OA=4-1=3，则B的坐标是（3，0）；
C点的横坐标是：（-1+3）=1，三角形的高是：4×=2，
则C的坐标是：（1，2）；
设直线AC的解析式是：y=kx+b，根据题意得：，
解得：，
则直线的解析式是：y=x+，
令x=0，解得：y=，
则D的坐标是：（0，）；

（2）根据题意得：，
解得：，
则函数的解析式是：y=-x²+x+；

（3）在：y=-x²+x+中，令y=，
得到-x²+x+=，
解得：x=0或．
故DE=．
分析：（1）首先根据AB=4，以及A的坐标即可求得OB的长，则B的坐标即可求得，C一定在AB的中垂线上，则横坐标可以求得，纵坐标是△ABC的高，据此即可求得；利用待定系数法求得AC的解析式，从而求得D的坐标；
（2）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（3）在二次函数的解析式中，把D的纵坐标，代入二次函数的解析式，即可求得E的横坐标，求得DE的长．
点评：本题考查了等边三角形的性质，以及待定系数法求函数的解析式，正确求得B、C、D三点的坐标是关键．