Question

10．如图：在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．
（1）求证：四边形AECF为矩形；
（2）试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想；
（3）如果四边形AECF是菱形，试判断△ABC的形状，直接写出结果，不用说明理由．

Answer 1

分析 （1）证明三个角是直角即可解决问题；
（2）结论：MN∥BC且MN=$\frac{1}{2}$BC．只要证明MN是△ABC的中位线即可；
（3）△ABC是直角三角形（∠ACB=90°）；

解答 （1）证明：∵AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
又∵CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，
∴∠BCE=∠ACE，∠ACF=∠DCF，
∴∠ACE+∠ACF=$\frac{1}{2}$（∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠DCF）=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴三个角为直角的四边形AECF为矩形．

（2）结论：MN∥BC且MN=$\frac{1}{2}$BC．
证明：∵四边形AECF为矩形，
∴对角线相等且互相平分，
∴NE=NC，
∴∠NEC=∠ACE=∠BCE，
∴MN∥BC，
又∵AN=CN（矩形的对角线相等且互相平分），
∴N是AC的中点，
若M不是AB的中点，则可在AB取中点M₁，连接M₁N，
则M₁N是△ABC的中位线，MN∥BC，
而MN∥BC，M₁即为点M，
所以MN是△ABC的中位线（也可以用平行线等分线段定理，证明AM=BM）
∴MN=$\frac{1}{2}$BC；
法二：延长MN至K，使NK=MN，
因为对角线互相平分，
所以AMCK是平行四边形，KC∥MA，KC=AM因为MN∥BC，
所以MBCK是平行四边形，MK=BC，
所以MN=$\frac{1}{2}$BC

（3）解：△ABC是直角三角形（∠ACB=90°）．
理由：∵四边形AECF是菱形，
∴AC⊥EF，
∵EF∥AC，
∴AC⊥CB，
∴∠ACB=90°．即△ABC是直角三角形．

点评 本题考查矩形的判定和性质、菱形的性质．三角形的中位线定理、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．