分析 （1）作辅助线，构建全等三角形，证明四边形ABHM为矩形，则AM=BH，证明△ABE≌△EHF，AB=EH，根据线段的和得出结论；
（2）如图②，AB=BE+AM，证明△AEB≌△EFH和四边形ABHM为矩形，则AM=BH，所以AB=EH=BE+BH=BE+AM；
（3）如图③，根据△AEF是等腰直角三角形，得∠AFE=45°，从而求得∠HFE=45°-15°=30°，同理得△ABE≌△EHF，则∠AEB=∠HFE=30°，由四边形ABHM是矩形，得AM=BH=$\sqrt{3}$-1．
解答 
证明：（1）延长MF，交BC延长线于H，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAM=∠B=90°，
∵FM⊥AD，
∴∠AMF=90°，
∴四边形ABHM为矩形，
∴AM=BH，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴AE=EF，∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEH=90°，
∵∠B=90°，
∴∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠FEH=∠BAE，
∵∠B=∠EHF=90°，
∴△ABE≌△EHF，
∴AB=EH，
∴AM=BH=BE+EH=BE+AB；
（2）AB=BE+AM，理由是：
如图②，∵△AEF是等腰直角三角形，
∴AE=EF，∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEH=90°，
∵∠ABE=90°，
∴∠AEB+∠EAB=90°，
∴∠FEH=∠EAB，
∵∠ABE=∠EHF=90°，
∴△AEB≌△EFH，
∴AB=EH，
∵∠MAB=∠ABH=∠BHM=90°，
∴四边形ABHM为矩形，
∴AM=BH，
∴AB=EH=BE+BH=BE+AM；
（3）如图③，∵△AEF是等腰直角三角形，
∴∠AFE=45°，
∵∠AFM=15°，
∴∠HFE=45°-15°=30°，
同理得：△ABE≌△EHF，
∴∠AEB=∠HFE=30°，EH=AB，
Rt△ABE中，∴AE=2，AB=1，
∴BC=EH=AB=1，
∴BH=EC=$\sqrt{3}$-1，
同理得：四边形ABHM是矩形，
∴AM=BH=$\sqrt{3}$-1．
故答案为：$\sqrt{3}$-1．
点评 本题是四边形的综合题，考查了三角形全等的性质和判定、矩形、等腰直角三角形的性质和判定、直角三角形30°角的性质、正方形的性质，本题的三个问题中证明△ABE≌△EHF是关键，在证明线段的和时，利用三角形全等中线段相等作等量代换及线段的和的关系得出结论．
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