Question

如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB分别交x、y轴于A、B两点，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，6），点C是x轴负半轴上一点，过O点作BC的垂线，垂足为D，过B点作AD的垂线交OD、AD于点F和点K，交AC于点E，OF：CD=2：3．
（1）求直线AB的解析式；
（2）动点P从B点出发沿BC方向向终点C匀速运动（不包括B、C两点），速度为每秒2个单位长度，过P作x轴的平行线交AB于点N，设点P的运动时间为t，线段AN长为d，求d与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，动点Q从A点出发沿AC方向向终点C匀速运动，速度为每秒个单位长度，设P、Q两点同时出发，当一点到达终点时另一点停止运动，连接ON，当AD平分线段NQ时，求此时t的值．

Answer 1

解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（3，0）、B（0，6）代入y=kx+b，得，
解得：，
则直线AB的解析式为y=-2x+6；
（2）设AD与y轴交于点S，
∵OD⊥BC，
∴∠DCA+∠DOC=90°，
又∵∠FOB+∠DOC=90°，
∴∠DCA=∠FOB，
∵BE⊥AD，
∴∠BFA=90°，
∵x轴⊥y轴，
∴∠SOA=90°，
∴∠BFA=∠SOA，
又∵∠FSB=∠OSA，
∴∠FBO=∠DAC，
∴△DCA∽△FOB，
∴BC²=CE•CD，
∵BO=6，AO=3，
∴AC=9，
∴C（-6，0），
∴BC=6，AB=3，
当P在线段BC上运动时，
∵PN∥x轴，
∴=，即=，
∴d=-t+3（0＜t＜3）；
（3）设NQ与AD交于点M，延长AD到G，使得MG=AM，连接QG，
∵MN=MQ，∠AMN=∠QMG，
∴△ANM≌△GQM（SAS），
∴∠ANM=∠GQM，GQ=AN=d=-t+3，
∴AN∥GQ，
∴∠CQG=∠OAB，
∴tan∠OAB=tan∠GQC=2，过G点作GR⊥AC，垂足为R，
∴设RQ=a，则GR=2a，
∴GQ==a，
过D作DH⊥BO于点H，
∵OB=OC，∠ACB=45°，OD⊥BC，
∴CD=BD，DH=BH=HO=CO=3，
∴DH=AO，
在△DSH和△ASO中，∠HDA=∠DAO，DH=AO，∠DSH=∠AOS，
∴△DSH≌△ASO（ASA），
∴HS=SO=HO=，tan∠DAC===，
∴AR=4a，
∴AQ=AR-RQ=4a-3a=3a，
又∵AQ=t，GQ=AN=d=-t+3，
∴，
解得：t=．
分析：（1）设直线AB解析式为y=kx+b，将A与B坐标代入求出k与b的值，即可确定出AB解析式；
（2）设AD与y轴交于S点，利用相似三角形的判定与性质，求得一次函数解析式；
（3）设NQ与AD交于点M，延长AD到G，使得MG=AM，连接QG，利用三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及一次函数解决问题．
点评：此题综合考查了待定系数法求一次函数解析式，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及有关锐角三角函数的意义等问题．