Question

【题目】已知：在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于、（在的左侧），与轴交于点，过点作轴，交抛物线于点，且.

（1）如图1，求抛物线的解析式；

（2）如图2，点为第二象限抛物线上一点，交轴于点，点为抛物线的顶点，连接、，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式；

（3）如图3，在（2）的条件下，把沿直线翻折使点落在点处，与直线交于点，连接交线段于点，点、在线段上（上下），且，若，，求的长.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）5.

【解析】

（1）由抛物线y=ax2-4ax-12a可求出AB两点坐标为（-2，0），（6，0），得OA=2，继而求出CD=4，由tan∠ADC=1可求OC=6，即得-12a=-6，a=，即可解题；

（2）延长BM交y轴于S，过M作MI⊥y轴于I．设点P的坐标为（m，m2-2m-6）．可得OQ=-3（m+2）．由直线BM可求S点坐标，由，△BMQ的面积为S=×QS（OB-MI）即可求出函数解析式；

（3）连接BC，过点F作FT⊥x轴，过点C、G分别作x轴、y轴平行线交于X，由对称可求F（14，4），由∠OCH-∠OBR=45°，可求∠FBT+∠OBR=45°，把△BRC绕点B旋转90°至△BQZ，由QN2+CR2=NR2可得NZ=NR，证明△BNZ≌△BNR，得∠NBR=45°，由tan∠NBO=，求得ON=3，BN=3，根据△BNR∽△CNB得BN2=NRNC，求出OR=2，即可得NR=5．

（1）过点作于，

令，，

解得或6，

∴，

∴，

对称轴，

∴，，

∵，

∴，

∴，

解得，

∴解析式为；

（2）延长交轴于，过作轴于，

∵点P的横坐标为m，

∴点P的坐标为（m，m2-2m-6）．

，

∴，

由，得M（2，-8），

设直线的解析式为：y=kx+b，

把M（2，-8），B（6，0）代入，得 ，

解得，

所以直线的解析式为，

∴，，

，

∴；

（3）连接，过点作轴，过点、分别作轴、轴平行线交于，

∵，

∴，

∵翻折对称得，

∴，

又∵，

∴，

由（2）知，点，

∴，即点G坐标为（4，-4），

，

∵，

∴，，

∴，

又∵，

∴点，

∴，

∴，

∵，

又∵，

∴.

把绕点旋转至，

连接，

∵，

∴，

而已知，

∴.

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，.

设，

，

∴，

即，

解得，

∴.