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【题目】如图,在正方形 ABCD 中,E 为直线 AB 上的动点(不与 A、B 重合,作射线 DE 并绕点 D 逆时针旋转 45°,交直线 BC 于点 F,连接 EF.

探究:当点 E 在边 AB 上,求证:EF=AE+CF.

应用:(1)当点 E 在边 AB 上,且 AD=2 时,求△BEF 的周长;

(2)当点 E BA 延长线上时,判断 EF,AE,CF 三者的数量关系,并说明理由.

【答案】探究:证明见解析;应用:(1)△BEF 的周长为4;(2)EF=CF﹣AE,理由见解析.

【解析】

探究:作辅助线,构建全等三角形,证明△DAG≌△DCF(SAS),得∠1=∠3,DG=DF,再证明△GDE≌△FDE(SAS),根据EG的长可得结论;
应用:
(1)利用探究的结论计算三角形周长为4;
(2)分两种情况:EBA的延长线上时,EF=CF-AE,②当点EAB的延长线上时, EF=AE-CF,两种情况都是作辅助线,构建全等三角形,证明两三角形全等得线段相等,根据线段的和与差得出结论.

探究:

如下图:延长 BA G,使 AG=CF,连接 GD,

四边形 ABCD 为正方形,∴DA=DC,∠DAG=∠DCF=90°,

∴△DAG≌△DCF(SAS),

∴∠1=∠3,DG=DF,

∵∠DAC=90°,∠EDF=45°,

∴∠EDG=∠1+∠2=∠3+∠2=45°=∠EDF,

∵DE=DE,

∴△GDE≌△FDE(SAS),

∴EF=EG=AG+AE=AE+CF;

应用:

(1)△BEF 的周长=BE+BF+EF,

由探究得:△BEF 的周长=BE+BF+EF=AB+BC=2+2=4,

(2) E BA 的延长线上时,如下图:

EF=CF﹣AE,理由是:

CB 上取 CG=AE,连接 DG,

∵∠DAE=∠DCG=90°,AD=DC,

∴△DAE≌△DCG(SAS),

∴DE=DG,∠EDA=∠GDC,

∵∠ADC=90°,∠EDG=90°,

∴∠EDF+∠FDG=90°,

∵∠EDF=45°,

∴∠FDG=90°﹣45°=45°, △EDF △GDF 中,

DE=DG,∠EDF=∠GDF,DF=DF,∴△EDF≌△GDF(SAS),

∴FE=FG,

∴EF=CF﹣CG=CF﹣AE.

练习册系列答案
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【题目】某市现在有两种用电收费方法:

分时电表

普通电表

峰时(8:00~21:00)

谷时(21:00到次日8:00)

电价0.55元/千瓦·时

电价0.35元/千瓦·时

电价0.52元/千瓦·时

小明家所在的小区用的电表都换成了分时电表.

解决问题:

(1)小明家庭某月用电总量为千瓦·时(为常数);谷时用电千瓦·时,峰时用电千瓦·时,分时计价时总价为元,普通计价时总价为元,求与用电量的函数关系式.

(2)小明家庭使用分时电表是不是一定比普通电表合算呢?

(3)下表是路皓家最近两个月用电的收据:

谷时用电(千瓦·时)

峰时用电(千瓦·时)

181

239

根据上表,请问用分时电表是否合算?

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【题目】已知如图,抛物线的顶点D的坐标为(1,-4),且与y轴交于点

C03

求该函数的关系式;

求改抛物线与x轴的交点A,B的坐标.

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【题目】某市射击队甲、乙两名队员在相同的条件下各射耙10次,每次射耙的成绩情况如图所示:

1)请将下表补充完整:

2)请从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析:

①从平均数和方差相结合看,  的成绩好些;

②从平均数和中位数相结合看,  的成绩好些;

③若其他队选手最好成绩在9环左右,现要选一人参赛,你认为选谁参加,并说明理由.

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【题目】为满足市场需求,新生活超市在端午节前夕购进价格为3/个的某品牌粽子,根据市场预测,该品牌粽子每个售价4元时,每天能出售500个,并且售价每上涨0.1元,其销售量将减少10个,为了维护消费者利益,物价部门规定,该品牌粽子售价不能超过进价的200%,请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价,使超市每天的销售利润为800元.

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【题目】如图是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2m时,水面宽4m,则水面下降1m时,水面宽度增加_____m.

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【题目】如图,已知线段是直线上一动点,点分别为的中点,对下列各值:①线段的长;②的周长;③的面积;④直线之间的距离;⑤的大小.其中不会随点的移动而改变的是_____.(填序号)

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【题目】某区在实施居民用水额定管理前,对居民生活用水情况进行了调查,下表是通过简单随机抽样获得的50个家庭去年月平均用水量(单位:吨),并将调查数据进行如下整理:

4.7 2.1 3.1 2.3 5.2 2.8 7.3 4.3 4.8 6.7

4.5 5.1 6.5 8.9 2.2 4.5 3.2 3.2 4.5 3.5

3.5 3.5 3.6 4.9 3.7 3.8 5.6 5.5 5.9 6.2

5.7 3.9 4.0 4.0 7.0 3.7 9.5 4.2 6.4 3.5

4.5 4.5 4.6 5.4 5.6 6.6 5.8 4.5 6.2 7.5

频数分布表

分组

划记

频数

2.0x≤3.5

正正

11

3.5x≤5.0


19

5.0x≤6.5



6.5x≤8.0



8.0x≤9.5


2

合计


50

1)把上面频数分布表和频数分布直方图补充完整;

2)从直方图中你能得到什么信息?(写出两条即可);

3)为了鼓励节约用水,要确定一个用水量的标准,超出这个标准的部分按1.5倍价格收费,若要使60%的家庭收费不受影响,你觉得家庭月均用水量应该定为多少?为什么?

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【题目】ABC中,∠BAC=90AB=AC.D为直线BC上一动点(点D不与点BC重合),以AD为直角边在AD右侧作等腰直角三角形ADE,使DAE=90,连结CE.

探究:如图①,当点D在线段BC上时,证明BC=CE+CD.

应用:在探究的条件下,若AB=CD=1,则DCE的周长为_______.

拓展:(1)如图②,当点D在线段CB的延长线上时,BCCDCE之间的数量关系为_______.

(2)如图③,当点D在线段BC的延长线上时,BCCDCE之间的数量关系为_______.

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