Question

1．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0≤t≤2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值；
（3）M是PQ的中点，请直接写出点M运动路线的长．

Answer 1

分析 （1）分两种情况：①当△BPQ∽△BAC时，BP：BA=BQ：BC；当△BPQ∽△BCA时，BP：BC=BQ：BA，再根据BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入计算即可；
（2）过P作PF⊥BC于点F，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PF=3t，FC=8-4t，根据△ACQ∽△CFP，得出AC：CF=CQ：FP，代入计算即可．
（3）作PE⊥AC于点E，MH⊥AC于点H，先得出MH=$\frac{PE+QC}{2}$，再把QC=4t，PE=8-CF=8-4t代入求出MH，过BC的中点R作直线平行于AC，得出RC=MH，M在过R的中位线上，从而证出PQ的中点在△ABC的一条中位线上．

解答 解：根据勾股定理得：BA=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$；
（1）分两种情况讨论：
①当△BPQ∽△BAC时，$\frac{BP}{BA}$=$\frac{BQ}{BC}$，
∵BP=5t，QC=4t，AB=10，BC=8，
∴$\frac{5t}{10}$=$\frac{8-4t}{8}$，解得，t=1；
②当△BPQ∽△BCA时，$\frac{BP}{BC}$=$\frac{BQ}{BA}$，
∴$\frac{5t}{8}$=$\frac{8-4t}{10}$，解得，t=$\frac{32}{41}$；
∴t=1或$\frac{32}{41}$时，△BPQ∽△BCA；

（2）过P作PF⊥BC于点F，AQ，CP交于点N，如答图1所示：
则PB=5t，PF=3t，FC=8-4t，
∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCF+∠NCA=90°，
∴∠NAC=∠PCF，
∵∠ACQ=∠PFC，
∴△ACQ∽△CFP，
∴$\frac{AC}{CF}$=$\frac{CQ}{FP}$，
∴$\frac{4t}{3t}$=$\frac{6}{8-4t}$，解得t=$\frac{7}{8}$．

（3）点M运动路线的长是3cm．理由如下：
如答图2，连接PQ．仍有PF⊥BC于点F，PQ的中点设为M点，再作PE⊥AC于点E，DH⊥AC于点H，
∵∠ACB=90°，
∴MH为梯形PECQ的中位线，
∴MH=$\frac{PE+QC}{2}$，
∵QC=4t，PE=8-BF=8-4t，
∴MH=$\frac{8-4t+4t}{2}$=4，
∵BC=8，过BC的中点R作直线平行于AC，
∴RC=MH=4成立，
∴M在过R的中位线上，
∴PQ的中点M在△ABC的一条中位线上运动，
∴点M的运动轨迹是△ABC的中位线，其长度为：$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×6=3（cm）．

点评 此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、中位线的性质等，关键是画出图形作出辅助线构造相似三角形，注意分两种情况讨论．