Question

已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E在边BC的延长线上，DA⊥AE，AD=AE．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）如果点F是DE的中点，求证：CF=DF．

Answer 1

（1）证明：∵DA⊥AE，
∴∠DAE=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，
在△ABE和△ACD中，
∵，
∴△ABE≌△ACD；

（2）证明：∵△ABE≌△ACD，
∴∠B=∠ACD，
∵∠B=∠ACB，∠B+∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠ACB=90°，
∴∠DCE=90°，
∵点F是DE的中点，
∴CF=DE=DF；
分析：（1）根据DA⊥AE，得出∠DAE=90°，再根据∠BAC=90°，得出∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，即可证出△ABE≌△ACD；
（2）根据△ABE≌△ACD，得出∠B=∠ACD，再根据∠B=∠ACB，∠B+∠ACB=90°，得出∠DCE=90°，最后根据点F是DE的中点，得出CF=DF．
点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，用到的知识点是全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解题的关键是证出∠BAE=∠CAD．