Question

7．四边形ABCD是正方形（提示：正方形四边相等，四个角都是90°）
（1）如图1，若点G在BC边上时（不与点B、C重合），连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，求证：△ABF≌△DAE；
（2）直接写出（1）中，线段EF与AF、BF的等量关系是BF+EF=AF；
（3）①如图2，若点G在CD边上时（不与点C、D重合），连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，则图中全等三角形是△ABF≌△DAE，线段EF与AF、BF的等量关系是AF+EF=BF；
②如图3，若点G在CD延长线上任意一点，连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，线段EF与AF、BF的等量关系是AE+BF=EF；
（4）若点G是BC延长线上任意一点，连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，请画图、探究线段EF与AF、BF的等量关系．

Answer 1

分析 （1）首先证明∠BFA=∠DEA=90°，∠EAD=∠FBA，AD=AB，从而可证明两个三角形全等；
（2）根据求得三角形对应边相等可知BF=AE，然后根据AE+EF=AF即可得出结论；
（3）先证明△ABF≌△DAE，然后由全等三角形的性质进行证明即可；
（4）首先根据题意画出图形，然后再证明△ABF≌△DAE，由相似三角形的性质可证得：AF+EF=BF．

解答 证明：（1）∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠BFA=∠DEA=90°．
∵∠BAF+∠ABF=90°，∠BAF+∠EAD=90°，
∴∠EAD=∠FBA．
在△ABF和△DAE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BFA=∠DEA}\\{∠EAD=∠FBA}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DAE．
（2）EF+BF=AF．
理由：∵△ABF≌△DAE，
∴AE=BF．
∵AE+EF=AF，
∴BF+EF=AF．
（3）①由（1）可知：△ABF≌△DAE，
∴AE=BF．
∵AF+EF=AE，
∴AF+EF=BF．
②∵BF⊥AG，DE⊥AG，
∴∠BFA=∠DEA=90°．
∵∠BAF+∠ABF=90°，∠BAF+∠EAD=90°，
∴∠EAD=∠FBA．
在△ABF和△DAE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BFA=∠DEA}\\{∠EAD=∠FBA}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DAE．
∴FB=AE．
∵EF=AE+AF，
∴AF+BF=EF．
（4）如图所示：

∵BF⊥AG，DE⊥AG，
∴∠BFA=∠DEA=90°．
∵∠BAF+∠ABF=90°，∠BAF+∠EAD=90°，
∴∠EAD=∠FBA．
在△ABF和△DAE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BFA=∠DEA}\\{∠EAD=∠FBA}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DAE．
∴FB=AE．
∵AE=EF+AF，
∴AF+EF=BF．

点评 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．