Question

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），连接OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB。

（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由。

Answer 1

解：（1）B（1，）； （2）设抛物线的解析式为y=ax（x+2），代入点B（1，）得a=， 因此y=； （3）如图①，抛物线的对称轴是直线x=-1，当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小， 设直线AB的解析式为y=kx+b，所以，解得， 因此直线AB的解析式为y=， 当x=-1时，y=， 因此点C的坐标为（-1，）； （4）如图②，过P作y轴的平行线交AB于D，设P点横坐标为x， S△PAB=S△PAD+S△PBD=， = = =， 当x=-时，△PAB的面积的最大值为， 此时P。