Question

我们容易发现，反比例函数y=

k

x

的图象既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形，我们可以利用这些性质解决问题．
（1）①反比例函数y=

k

x

图象有

 

条对称轴，直线方程分别为

 

；反比例函数y=

k

x

图象的对称中心坐标为

 

；
②如果反比例函数y=

k

x

的图象经过点（a，b），那么它一定同时经过点

 

；（用字母a，b表示，写出两个即可）
（2）如图1，直线y=nx与反比例函数y=

3

x

的图象分别交于第一、三象限的点B、D，已知点A（-m，0），C（m，0）
①判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论；
②当点B为（p，1）时，四边形ABCD是矩形，如图2，试求p和m的值．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）①直接根据反比例函数的对称性进行解答即可；
②根据反比例函数的图象既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形解答；
（2）①根据反比例函数y=

3

x

是中心对称图形，且与正比例函数y=nx交与点B、D可知OB=OD，再根据A（-m，0），C（m，0）可知OA=OC，由此可得出结论；
②把点B（p，1）代入y=

3

x

即可求出p的值，过点B作BE⊥x轴于点E，则OE=

3

，BE=1，在Rt△OBE中，由勾股定理求出OB的长，四边形ABCD是矩形，且C（m，0）可得出OB=OC，进而得出m的值．

解答：解：（1）①反比例函数y=

k

x

图象有2条对称轴，直线方程分别为直线y=x，直线y=-x；反比例函数y=

k

x

图象的对称中心坐标为 （0，0），
故答案为：2，直线y=x，直线y=-x，（0，0）；

②∵反比例函数y=

k

x

的图象既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形，
∴如果反比例函数y=

k

x

的图象经过点（a，b），那么它一定同时经过点（-a，-b）或（b，a）或（-b，-a）．
故答案为：（-a，-b）或（b，a）或（-b，-a）；

（2）①四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵反比例函数y=

3

x

是中心对称图形，且与正比例函数y=nx交与点B、D，
∴OB=OD，
∵A（-m，0），C（m，0），
∴OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形；

②∵点B（p，1）在y=

3

x

的图象上，
∴1=

3

p

，
∴p=

3

，
过点B作BE⊥x轴于点E，则OE=

3

，BE=1，
在Rt△OBE中，由勾股定理得，OB=

( 3 )2+12

=2，
∵四边形ABCD是矩形，且C（m，0），
∴OB=OC=2，
∴m=2．

点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到平行四边形的判定定理、反比例函数的性质等知识，难度适中．