Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，E为BC边上一点(不与B、C重合)，D为AB延长线上一点且BD＝BE.点F、G分别为AE、CD的中点.

(1)求证：AE＝CD.

(2)求证：△BFG为等腰直角三角形.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】

(1)由已知条件可证明△ABE≌△CBD(SAS)，即可得出AE＝CD；

(2)由全等三角形的性质得出AE＝CD，∠BAE＝∠BCD，由直角三角形斜边上的中线性质得出BF＝AE＝AF，BG＝CD＝CG，得出BF＝BG，∠BAE＝∠ABF，∠BCD＝∠CBG，证出∠ABF＝∠CBG，得出∠FBG＝∠ABC＝90°，即可得出结论.

证明：(1)∵∠ABC＝90°，

∴∠CBD＝90°，

在△ABE和△CBD中，

∴△ABE≌△CBD(SAS)，

∴AE＝CD；

(2)由(1)得：△ABE≌△CBD，

∴AE＝CD，∠BAE＝∠BCD，

∵∠ABE＝∠CBD＝90°，点F、G分别为AE、CD的中点，

∴BF＝AE＝AF，BG＝CD＝CG，

∴BF＝BG，∠BAE＝∠ABF，∠BCD＝∠CBG，

∴∠ABF＝∠CBG，

∴∠FBG＝∠ABC＝90°，

∴△BFG为等腰直角三角形.