Question

【题目】如图，⊙O的直径为10，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．

（1）求证：ACCD=PCBC；
（2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥CP，
∴∠PCD=90°，
∴∠ACB=∠PCD，
∵∠A与∠P是 对的圆周角，
∴∠A=∠P，
∴△ABC∽△PDC，
∴ ，
∴ACCD=PCBC；
（2）解：当点P运动到 的中点时，过点B作BE⊥PC于E，

∵BC：CA=4：3，AB=10，
∴BC=8，AC=6，
∵点P是 的中点，
∴∠PCB= ∠ACB=45°，
∴BE=CE=BCsin45°=8× =4 ，
在Rt△EPB中，tan∠P=tan∠A= = ，
∴PE= BE=3 ，
∴PC=PE+CE=7 ，
∴CD=PCtan∠P= ×7 = ．
【解析】（1）要证ACCD=PCBC，可变换为需证△ABC∽△PDC，结合已知，运用圆周角定理，证出两组角相等，可得出结论;(（2）利用圆周角定理可得∠PCB= ∠ACB=45度，利用三角函数，CD=PCtan∠P，求出CD.