Question

【题目】如图，点P是圆O直径CA延长线上的一点，PB切圆O于点B，点D是圆上的一点，连接AB，AD，BD，CD，∠P=30°．

（1）求证：PB=BC；

（2）若AD=6，tan∠DCA=，求BD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）如图，连接OB，根据切线的性质易得∠POB＝60°，再根据外角的性质求得∠PCB＝30°，则PB＝PC得证；（2）如图过A点作AM⊥BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝∠ACB＝30°，∠ABD＝∠DCA，再根据锐角三角函数求出DM、AM的长，再由tan∠DCA＝求出BM的长，即可求出BD的长.

（1）如图所示，连接OB.

∵PB是切线，∴∠OBP＝90°，

∴∠POB＝90°－∠P＝60°，

∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，

∴∠PCB＝∠POB＝30°，

∴∠P＝∠PCB，∴PB＝PC.

（2）如图过A点作AM⊥BD，

∠ADB＝∠ACB＝30°，∠ABD＝∠DCA，

∴DM＝ADcos30°＝3，AM＝ADsin30°＝3，

∵tan∠ABD＝tan∠DCA＝，

∴，

∴BM＝4，

∴BD＝BM＋DM＝4＋3.