Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx﹣与抛物线y＝ax2+bx+交于点A、C，与y轴交于点B，点A的坐标为（2，0），点C的横坐标为﹣8．

（1）请直接写出直线和抛物线的解析式；

（2）点D是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、C重合），作DE⊥AC于点E．设点D的横坐标为m．求DE的长关于m的函数解析式，并写出DE长的最大值；

（3）平移△AOB，使平移后的三角形的三个顶点中有两个在抛物线上，请直接写出平移后的点A对应点A′的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）DE的最大值为5；（3）点A′（﹣， ）或（﹣2，3）

【解析】

(1)将点A,C坐标代入一次函数与二次函数表达式,即可解题,

（2）根据DE= DFsin∠DFE＝·（﹣m2﹣m+4）＝﹣（m+3）2+5即可求解,

（3）分别设出平移后的点A,B,O的坐标,根据有两个点在二次函数图形上,代入解方程组即可解题.

（1）将点A坐标代入直线表达式得：0＝2k﹣，解得：k＝，

故一次函数表达式为：y＝x﹣，则点C坐标为（﹣8，﹣），

同理，将点A、C的坐标代入二次函数表达式并解得二次函数表达式为：；

（2）作DF∥y轴交直线AB于点F，

∴∠DFE＝∠OBA，（同角的余角相等）

设点D的横坐标为m，则点D（m，﹣m2﹣m+），点F（m，m﹣），

DF＝﹣m2﹣m+﹣（m﹣）＝﹣m2﹣m+4，

AB＝＝，sin∠DFE＝sin∠OBA＝，

∴DE＝DFsin∠DFE＝·（﹣m2﹣m+4）＝﹣（m+3）2+5，

故：DE的最大值为5；

（3）设三角形向左平移m个、向上平移n个单位时，三角形有2个顶点在抛物线上，

①当平移后点A和O在抛物线上时，

则平移后点A、O的坐标分别为（2﹣m，n）、（﹣m，n），

将上述两个点坐标代入二次函数表达式得：

解得：m＝，n=,

②当平移后点A和B在抛物线上时，平移后点A、B的坐标分别为（2﹣m，n）、（﹣m，n-），

同理可得：点A′（﹣2，3），

即点A′（﹣， ）或（﹣2，3）．