Question

【题目】如图，二次函数的图象交轴于点，点，交轴于点

（1）求二次函数的解析式；

（2）连接，在直线上方的抛物线上有一点，过点作轴的平行线，交直线于点，设点的横坐标为，线段的长为，求关于的函数关系式；

（3）若点在轴上，是否存在点，使以、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2-x+2；（2）l=-n2-2n；（3）存在，（-1，0）或（1+，0）或（1-，0）或（-，0）．

【解析】

（1）利用交点式求二次函数的解析式；
（2）设点N（n，-n2-n+2），则点F（n，n+2），l=-n2-n+2-（n+2）=-n2-2n；
（3）分CB=CM、BC=BM、BM=CM三种情况，分别求解即可．

解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（-2，0），B（1，0），
设二次函数的解析式为：y=a（x+2）（x-1），
把C（0，2）代入得：2=a（0+2）（0-1），
a=-1，

∴y=-（x+2）（x-1）=-x2-x+2，

故抛物线的表达式为：y=-x2-x+2；
（2）设直线AC的解析式为：y=kx+b，
把A（-2，0）、C（0，2）代入得： ，
解得： ，
∴直线AC的解析式为：y=x+2，

设点N（n，-n2-n+2），则点F（n，n+2），

l=-n2-n+2-（n+2）=-n2-2n；
（3）存在，分三种情况：
①如图2，当BC=CM1时，M1（-1，0）；

②如图2，由勾股定理得：BC= ，
以B为圆心，以BC为半径画圆，交x轴于M2、M3，则BC=BM2=BM3=，
此时，M2（1-，0），M3（1+，0）；
③如图3，作BC的中垂线，交x轴于M4，连接CM4，则CM4=BM4，

设OM4=x，则CM4=BM4=x+1，
由勾股定理得：22+x2=（1+x）2，
解得：x=，
∵M4在x轴的负半轴上，
∴M4（-，0），

综上，点M的坐标为：（-1，0）或（1+，0）或（1-，0）或（-，0）．