Question

【题目】已知函数y=-x2+(m-1) x+m (m为常数)，其顶点为M．

(1)请判断该函数的图像与x轴公共点的个数，并说明理由；

(2)当-2≤m≤3时，求该函数的图像的顶点M纵坐标的取值范围；

(3)在同一坐标系内两点A(-1，-1)、B(1，0)，△ABM的面积为S，当m为何值时，S的面积最小？并求出这个最小值．

Answer 1

【答案】(1) 该函数的图像与轴公共点的个数是1个或2个；(2) 当-2≤m≤3时，该函数图像的顶点纵坐标的取值范围是0≤y≤4；(3) 当时，面积有最小值

【解析】

(1)计算判别式△的大小，比较与0的大小关系，即可得到根的个数，进而得到函数的图像与x轴公共点的个数；

(2)把函数的解析式化成顶点式，结合m的取值范围，即可得到图像的顶点M纵坐标的取值范围；

(3) 列出关于△ABM的面积为S的表达式，求其根据二次函数的性质求其最小值即可得到答案．

(1)由题意得：△=

∴该函数的图像与轴公共点的个数是1个或2个 ；

(2)将y=-x2+(m-1) x+m化成顶点式得到

顶点的纵坐标是y=，

当m=-1时，y有最小值为0；

当m＜﹣1时，y随m的增大而减小，

当m＞﹣1时，y随m的增大而增大，

当m=-2时，y=0.25；

当m=3时，y=4，

则当-2≤m≤3时，该函数图像的顶点纵坐标的取值范围是0≤y≤4 ；

(3)根据题意，经过点M、点A的直线斜率

经过点M、点A的直线可表示为：

令可得直线与x轴交点横坐标为

则△ABM的面积为

故当时，面积有最小值．