[题目]如图.四边形ABCD的对角线相交于点O.且点O是BD的中点.若AB＝AD＝5.BD＝8.∠ABD＝∠CDB.则四边形ABCD的面积为( )A.40B.24C.20D.15 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（　　）

A.40B.24C.20D.15

【答案】B

【解析】

根据等腰三角形的性质得到AC⊥BD，∠BAO=∠DAO，得到AD=CD，推出四边形ABCD是菱形，根据勾股定理得到AO=3，于是得到结论．

∵AB＝AD，点O是BD的中点，

∴AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，

∵∠ABD＝∠CDB，

∴AB∥CD，

∴∠BAC＝∠ACD，

∴∠DAC＝∠ACD，

∴AD＝CD，

∴AB＝CD，

∴四边形ABCD是菱形，

∵AB＝5，BOBD＝4，

∴AO＝3，

∴AC＝2AO＝6，

∴四边形ABCD的面积6×8＝24，

故选：B．

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例：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝12cm，BC＝18cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，使PQ∥CD和PQ＝CD，分别经过多长时间？为什么？

解：①设经过ts时，PQ∥CD且PQ＝CD，此时四边形PQCD为平行四边形．

∵PD＝（12－t）cm，CQ＝2t cm，

∴12－t＝2t．∴t＝4．

∴当t＝4时，PQ∥CD，且PQ＝CD．

②设经过ts时，PQ＝CD，分别过点P，D作BC边的垂线PE，DF，垂足分别为E，F．

当CF＝EQ时，四边形PQCD为梯形（腰相等）或者平行四边形．

∵∠B＝∠A＝∠DFB＝90°，

∴四边形ABFD是矩形．∴AD＝BF．

∵AD＝12 cm，BC＝18 cm，

∴CF＝BC－BF＝6 cm．

当四边形PQCD为梯形（腰相等）时，

PD＋2（BC－AD）＝CQ，

∴（12－t）＋12＝2t．∴t＝8．

∴当t＝8时，PQ＝CD．

当四边形PQCD为平行四边形时，由①知当t＝4时，PQ＝CD．

综上，当t＝4时，PQ∥CD；当t＝4或t＝8时，PQ＝CD．

问题1：在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．

问题2：从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA是矩形？

问题3：在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQBA是正方形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．

问题4：是否存在t，使得△DQC是等腰三角形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．

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求证：∠CED+∠ACB＝180°，

请你将小明的证明过程补充完整．

证明：∵FG⊥AB，CD⊥AB，垂足分别为G，D(已知)

∴∠FGB＝∠CDB＝90°(　　)．

∴GF∥CD(　　)

∵GF∥CD(已证)

∴∠2＝∠BCD(　　)

又∵∠1＝∠2(已知)

∴∠1＝∠BCD(　　)

∴　　(　　)

∴∠CED+∠ACB＝180°(　　)

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